Question

【題目】（1）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍。

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：

①延長AD到Q，使得DQ＝AD；

②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；

③利用三角形的三邊關系可得4<AQ<14，則AD的取值范圍是_____________。

感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構造全等三角形，把分散的己知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中。

（2）請你寫出圖1中AC與BQ的位置關系并證明。

（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°。試探究線段AD與EF的數量和位置關系并加以證明。

Answer 1

【答案】（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由見解析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由見解析

【解析】

（1）先判斷出BD＝CD，進而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三邊關系即可得出結論；

（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出結論；

（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），則∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，進而判斷出∠ABQ＝∠EAF，進而判斷出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出結論．

解：（1）延長AD到Q使得DQ＝AD，連接BQ，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD＝CD，

在△QDB和△ADC中， ，

∴△QDB≌△ADC（SAS），

∴BQ＝AC＝5，

在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，

∴4＜AQ＜14，

∴2＜AD＜7，

故答案為：2＜AD＜7；

（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，

∴∠BQD＝∠CAD，

∴AC∥BQ；

（3）EF＝2AD，AD⊥EF，

理由：如圖2，延長AD到Q使得BQ＝AD，連接BQ，

由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），

∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，

∵AC＝AF，

∴BQ＝AF，

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，

∴∠BAC+ABQ＝180°，

∵∠BAE＝∠FAC＝90°，

∴∠BAC+∠EAF＝180°，

∴∠ABQ＝∠EAF，

在△ABQ和△EAF中， ，

∴△ABQ≌△EAF，

∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，

延長DA交EF于P，

∵∠BAE＝90°，

∴∠BAQ+∠EAP＝90°，

∴∠AEF+∠EAP＝90°，

∴∠APE＝90°，

∴AD⊥EF，

∵AD＝DQ，

∴AQ＝2AD，

∵AQ＝EF，

∴EF＝2AD，

即：EF＝2AD，AD⊥EF．