Question

【題目】如圖，是的外接圓，是的直徑，點是半圓的中點，點是上一動點（不與點、重合），連接交于點．

圖1 圖2

（1）如圖1，過點作，交延長線于點，求證：與相切；

（2）若，，求的長；

（3）如圖2，把沿直線翻折得到，連接，當點在運動時，探究線段、、之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3），詳見解析．

【解析】

（1）連接，求出，根據得到，問題得證；

（2）作交于點，證明，求出CD=8，根據，

在中，設，則，，求出，,根據勾股定理即可求出CG；

（3）作，使得，連接，．證明，得到，證明，得到，根據數量關系進行代換即可得到．

證明：（1）連接，

是的外接圓，是的直徑，點是半圓的中點，

，

與相切；

解：（2）作交于點，

點是半圓周的中點，

是的直徑

在中，，，

在中，設，則，

，，

在中，設，則，

∴，，

在中，

圖1

（3）結論：

作，使得，連接，．

，

，

，，

，

，

，

，

，，

圖2