Question

【題目】（1）問題發現

如圖①，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，點與點重合，則線段與之間的數量關系和位置關系分別是 ．

（2）深入探究

如圖②，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，點在直線上，對角線所在的直線交直線于點，則線段之間有什么數量關系？請僅就圖②給出證明．

（3）拓展思維

如圖②，若點在直線上，且線段，當時，直接寫出此時正方形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）5或13

【解析】

（1）根據已知可得CF⊥BC，AD⊥BC，即可得出BD⊥CF，再根據等腰三角形的性質即可得出BD=CF；

（2）連接DF，GF，先證明△BAD≌△CAF，再根據勾股定理即可證明；

（3）分①當D在BC上時和②當D在BC的延長線上時，兩種情況結合正方形的性質及勾股定理進行討論求解即可．

解：（1）BD=CF，BD⊥CF

∵ADEF是正方形，

∴∠ADE=∠FCD=90°，AD=CD=CF=AF，

∴CF⊥BC，AD⊥BC，

∴BD⊥CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，

∴D是BC中點，

∴BD=CD，

∴BD=CF；

（2）BD2+CG2=DG2，

證明：連接DF，GF，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AE垂直平分DF，AD=AF，∠DAF=90°，

∴DG=FG，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，

∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°，

在Rt△GCF中，由勾股定理，得CF2+CG2=FG2，

∴BD2+CG2=DG2；

（3）①當D在BC上時，

如圖，過A點作AH⊥BC于點H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=BC=2，

∵BD=1，

∴DH=BH-BD=1，

∴在Rt△ADH中，AD==，

∴S正方形ADEF=AD2=5；

②當D在BC的延長線上時，

如圖，過A點作AH⊥BC于點H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH=BH=BC=2，

∵BD=1，

∴DH=BH+BD=3，

∴在Rt△ADH中，AD==，

∴S正方形ADEF=AD2=13；

綜上：正方形ADEF的面積為5或13．