Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E在BC邊上，且CA＝CE，過A，C，E三點的⊙O交AB于另一點F，作直徑AD，連結DE并延長交AB于點G，連結CD，CF．

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；（2）當BE＝4，CD＝AB時，求⊙O的直徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的直徑長為.

【解析】

（1）連接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直徑，根據圓周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到結論；

（2）設CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x3x3x＝2x，求得BC＝6＋4＝10，根據勾股定理得到AB＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）連結，

∵，∴為的直徑.

∵，∴.

∵為的直徑，∴，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形.

（2）由，可設，

∴.

∵，

∴，

∴.

∵，

∴.

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

在中，，

∴，即的直徑長為.