Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC，

（1）求證：△ADE∽△CEB；

（2）已知△ABC是等邊三角形，求證：

① ；

② ．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）證明△BEA∽△DEC，從而得到，再結合∠AED=∠BEC即可證明△ADE∽△BCE；

（2）①利用等邊三角形的性質得到∠ACB=∠BDC，結合∠DBC=∠DBC得到△BEC∽△BCD，根據相似的性質即可得到結果；

②在DB上取點F，使DF=DC，證明△CDF是等邊三角形，再證明△DCA≌△FCB，則有AD=BF，繼而得到結論.

解：（1）證明：∵∠BAC=∠BDC，∠BEA =∠DEC

∴△BEA∽△DEC

∴ ，

即

又∵∠AED=∠BEC

∴△ADE∽△BCE；

（2）證明：①∵△ABC是等邊三角形

∴∠ACB=∠BAC=

∵∠BAC=∠BDC

∴∠ACB=∠BDC=

又∵∠DBC=∠DBC

∴△BEC∽△BCD

∴

∴

②在DB上取點F，使DF=DC

∵∠BDC=∠ACB=

∴△CDF是等邊三角形

∴CD=CF，∠DCF=

∴∠DCF-∠ACF=∠ACB-∠ACF

∴∠DCA=∠FCB

由△ABC是等邊三角形得：AC=BC

∴△DCA≌△FCB

∴AD=BF

∴BD=DF+BF=CD+AD.