Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分線．
（1）用尺規作圖：作∠AEC的平分線EN（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）設EN與AF交于點M，判斷△AEM的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，射線EN即為所求；

（2）解：△ADF是等腰直角三角形．

在△ABC中，

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，

∴∠EAC= ∠BAC．

∵AF平分∠CAD，

∴∠CAF= ∠CAD，

∴∠EAF= （∠BAC+∠CAD）= ×180°=90°，

∵∠AEC=90°，EN是∠AEC的平分線，

∴∠AEM=45°，

∴∠AME=45°，

∴AE=AM，即△AEM是等腰直角三角形．

【解析】（1）根據角平分線的作法作∠AEC的平分線EN即可；（2）先根據題意得出AE平分∠BAC，再由AF是△ABC外角∠CAD的平分線可得出∠EAM=90°，根據EN是∠AEC的平分線可得出∠AEM=45°，據此可得出結論．