Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x﹣3與y軸交于點A，點A與點B關于x軸對稱，過點B作y軸的垂線l，直線l與直線y=2x﹣3交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）如果拋物線y=nx2﹣4nx+5n（n＞0）與線段BC有唯一公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=2x﹣3與y軸交于點A（0，﹣3），

∴點A關于x軸的對稱點B（0，3），l為直線y=3，

∵直線y=2x﹣3與直線l交于點C，

∴點C坐標為（3，3），

（2）解：∵拋物線y=nx2﹣4nx+5n（n＞0），

∴y=nx2﹣4nx+4n+n=n（x﹣2）2+n（n＞0）

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2，n），

∵點B（0，3），點C（3，3），

①當n＞3時，拋物線的最小值為n＞3，與線段BC無公共點；

②當n=3時，拋物線的頂點為（2，3），在線段BC上，此時拋物線與線段BC有一個公共點；

③當0＜n＜3時，拋物線最小值為n，與線段BC有兩個公共點；

如果拋物線y=n（x﹣2）2+n經過點B，則3=5n，解得n= ，

由拋物線的對稱軸為直線x=2，可知拋物線經過點（4，3），

點（4，3）不在線段BC上，此時拋物線與線段BC有一個公共點B；

如果拋物線y=n（x﹣2）2+n經過點C，則3=2n，解得n= ，

由拋物線的對稱軸為直線x=2，可知拋物線經過點（1，3），

點（1，3）在線段BC上，此時拋物線與線段BC有兩個公共點；

綜上所述，當 ≤n＜ 或n=3時，拋物線與線段BC有一個公共點．

【解析】（1）根據題意分別求出點A、B、C的坐標；（2）求得拋物線的對稱軸，頂點的坐標；再分類討論①當n＞3時；②當n=3時；③當0＜n＜3時，拋物線y=nx2﹣4nx+5n（n＞0）與線段BC有唯一公共點，求n的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用一次函數的性質和二次函數的性質，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．