Question

【題目】在等邊△ABC外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接BD，CD，其中CD交直線AP于點(diǎn)E．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度數(shù)；
（3）如圖2，若60°＜∠PAB＜120°，判斷由線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個(gè)含有多少度角的三角形，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：所作圖形如圖1所示：

（2）解：連接AD，如圖1．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng)，

∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴AD=AC，∠DAC=120°，

∴2∠ACE+60°+60°=180°，

∴∠ACE=30°

（3）解：線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個(gè)含有60°角的三角形．

證明：連接AD，EB，如圖2．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng)，

∴AD=AB，DE=BE，

∴∠EDA=∠EBA，

∵AB=AC，AB=AD，

∴AD=AC，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠ABE=∠ACE．

設(shè)AC，BE交于點(diǎn)F，

又∵∠AFB=∠CFE，

∴∠BAC=∠BEC=60°，

∴線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個(gè)含有60°角的三角形．

【解析】（1）根據(jù)題意作出圖形；（2）根據(jù)題意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根據(jù)AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求解；（3）由線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個(gè)含有60度角的三角形，連接AD，EB，根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得∠EDA=∠EBA，然后證得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．