Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形．直線L經過O、C兩點．點A的坐標為（8，0），點B的坐標為（11，4），動點P在線段OA上從點O出發以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O一C﹣B相交于點M．當Q、M兩點相遇時，P、Q兩點停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．△MPQ的面積為S．

（1）點C的坐標為 ，直線L的解析式為 ．

（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

（3）試求題（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值．

（4）隨著P、Q兩點的運動，當點M在線段CB上運動時，設PM的延長線與直線L相交于點N．試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，4），y= x；（2）①當0＜t≤，S= t2+ t；②當＜t≤3時，S= －2t2+t, ③當點Q與點M相遇時，S=﹣6t+32；(3) 當時，S有最大值，最大值為.(4) 當t=時，△QMN為等腰三角形．

【解析】（1）由平行四邊形的性質和點A、B的坐標便可求出C點坐標，將C點坐標代入正比例函數即可求得直線l的解析式；
（2）根據題意，得OP=t，AQ=2t，根據t的取值范圍不同分三種情況分別進行討論，得到三種S關于t的函數，解題時注意t的取值范圍；
（3）分別根據三種函數解析式求出當t為何值時，S最大，然后比較三個最大值，可知當t=時，S有最大值，最大值為；
（4）根據題意并細心觀察圖象，分兩種情況討論可知：當t=時，△QMN為等腰三角形．

解：（1）由題意知：點A的坐標為（8，0），點B的坐標為（11.4），

且OA=BC，故C點坐標為C（3，4），設直線l的解析式為y=kx，將C點坐標代入y=kx，解得k=，

∴直線l的解析式為y= x；故答案為：（3，4），y= x；

（2）根據題意，得OP=t，AQ=2t．分四種情況討論：

①當0＜t≤時，如圖1，M點的坐標是（t， t）．過點C作CD⊥x軸于D，過點Q作QE⊥x軸于E，可得△AEQ∽△ODC，∴ = =，∴ = =，∴AE =，EQ= t，∴Q點的坐標是（8+ t， t），∴PE=8+t－t= 8+t，∴S=·MP·PE=·t·（8+t）= t2+ t；

②當＜t≤3時，如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，∵BQ=2t﹣5，∴OF=11﹣（2t﹣5）=16﹣2t，

∴Q點的坐標是（16﹣2t，4），∴PF=16﹣2t﹣t=16﹣3t，

∴S=·MP·PF=·t·(16－3t)= －2t2+t,

③當點Q與點M相遇時，16﹣2t=t，解得t =．當3＜t＜時，如圖3，MQ=16﹣2t﹣t=16﹣3t，MP=4．S=·MP·PF =·4·（16－3t）=﹣6t+32；

（3）解：① 當時，，∵，拋物線開口向上，對稱軸為直線， ∴ 當時，S隨t的增大而增大.

∴ 當時，S有最大值，最大值為．

②當時，。∵，拋物線開口向下．

∴當時，S有最大值，最大值為．

③當時，，∵．∴S隨t的增大而減小．

又∵當時，S=14．當時，S=0．∴．

綜上所述，當時，S有最大值，最大值為.

（4）M、Q在BC邊上運動且沒有相遇時，如圖4，CM=t－3，BQ= 2t－5，MN=（t－3），∴MQ= 8－（t－3）－（2t－5）= 16－3t，∴只有（t－3）=16－3t，即當t=時，△QMN為等腰三角形．

“點睛”本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線最大值的求法和動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于難題．