Question

【題目】如圖，AC為⊙O的直徑，B為⊙O上一點，∠ACB=30°，延長CB至點D，使得CB=BD，過點D作DE⊥AC，垂足E在CA的延長線上，連接BE．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）當BE=3時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，連接BO，

∵∠ACB=30°，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∵DE⊥AC，CB=BD，

∴Rt△DCE中，BE= CD=BC，

∴∠BEC=∠BCE=30°，

∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，

∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，

∴BE是⊙O的切線；

（2）解：當BE=3時，BC=3，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

又∵∠ACB=30°，

∴AB=tan30°×BC= ，

∴AC=2AB=2 ，AO= ，

∴陰影部分的面積=半圓的面積﹣Rt△ABC的面積= π×AO2﹣ AB×BC= π×3﹣ × ×3= ﹣

【解析】（1）連接BO，根據△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根據三角形內角和即可得到∠EBO=90°，進而得出BE是⊙O的切線；（2）在Rt△ABC中，根據∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圓的面積以及Rt△ABC的面積，進而得到陰影部分的面積．
【考點精析】關于本題考查的扇形面積計算公式，需要了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能得出正確答案．