Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤10），過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．

（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；

（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，當t＝秒時，四邊形AEFD為菱形，見解析；（2）當t＝8或5秒時，△DEF為直角三角形，見解析.

【解析】

（1）能．首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解決問題；

（2）分三種情形討論即可．

（1）證明：能．

理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，

即40﹣4t＝2t，解得t＝．

∴當t＝秒時，四邊形AEFD為菱形．

（2）①當∠DEF＝90°時，由（1）知四邊形AEFD為平行四邊形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD＝AE＝t，

又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；

②當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，則∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．

③若∠EFD＝90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．

綜上所述，當t＝8或5秒時，△DEF為直角三角形．