Question

【題目】某小區在一塊矩形ABCD的空地上劃一塊四邊形MNPQ進行綠化，為了綠化環境又節省成本．如圖，已知矩形的邊BC＝200m，邊AB＝a m(a為不大于200的常數)，四邊形MNPQ的頂點在矩形的邊上，且AM＝BN＝CP＝DQ＝x m，設四邊形MNPQ的面積為S m2

(1)求S關于x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)若a＝120，求S的最小值，并求出此時x的值；

(3)若a＝200，且每平方米綠化費用需50元，則此時綠化最低費用為______萬元．

Answer 1

【答案】(1)S=2x2-(a+200)x+200a，自變量x的取值范圍是0<x<a；(2)a＝120，S的最小值是11200，此時x的值是80；(3)100．

【解析】

（1）根據四邊形MNPQ的面積等于矩形ABCD的面積減去四個直角三角形的面積即可求得S關于x的函數關系式，根據題意直接確定x的取值范圍即可；（2）把a=120代入解析式，再利用二次函數求最值得方法解答即可；（3）把a=200代入解析式，再利用二次函數求最值得方法求得S的最小值，再計算最低費用即可.

解：(1)由題意可得，

S=200a-=2x2-(a+200)x+200a(0<x<a)

即S關于x的函數關系式是S=2x2-(a+200)x+200a，自變量x的取值范圍是0<x<a.

(2)當a＝120時，

S＝2x2﹣320x+200×120＝2(x﹣80)2+11200，

∴x＝80時，S取得最小值，此時，S＝11200，

即a＝120，S的最小值是11200，此時x的值是80；

(3)當a＝200時，

S＝2x2﹣(200+200)x+200×200＝2(x﹣100)2+20000，

∴當x＝100時，S取得最小值，此時S＝20000，

20000×50＝1000000(元)＝100(萬元)，

即此時綠化最低費用為100萬元，

故答案為：100．