Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD為∠CAB的平分線，點O在AB上，⊙O經過點A，D兩點，與AC，AB分別交于點E，F

（1）求證：BC與⊙O相切；

（2）若AC＝8，AF＝10，求AD和BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝， .

【解析】

（1）連接OD．根據等腰三角形的性質得到∠ODA＝∠OAD．根據角平分線的定義得到∠CAD＝∠BAD．根據平行線的性質得到∠ODB＝∠ACB＝90°，于是得到結論；

（2）連接DF．根據圓周角定理得到∠ADF＝90°，根據相似三角形的性質得到AD＝，由勾股定理得到CD＝＝4．根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接OD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD．

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC與⊙O相切；

（2）解：連接DF．

∵AF為直徑，

∴∠ADF＝90°，

∴∠ACD＝∠ADF．

又∵∠CAD＝∠FAD，

∴△CAD∽△DAF，

∴，

∴AD2＝CAAF＝80，

∴AD＝，

在Rt△ACD中，CD＝＝4．

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴，

∴，

∴BC＝．