Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對角線AC、BD的交點，過點O作一直線分別交BC、AD于點M、N．
（1）試用中心對稱的性質(zhì)說明梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；
（2）若將矩形ABCD沿MN翻折后，點C恰好與點A重合，則MN滿足什么條件（只要求寫出滿足的條件，不要求說明理由）？
（3）在（2）條件下若翻折后不重疊部分（△ABM的面積是重疊部分（陰影部分）面積的$\frac{1}{2}$（如圖②），請?zhí)骄緽M與MC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對角線互相平分可得AO=CO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MCO=∠ANO，然后利用“角邊角”證明△AON和△COM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=CM，ON=OM，得出梯形ABMN和梯形CDNM關(guān)于點O對稱，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)，MN與AC互相垂直時點C與A重合；
（3）連接AM，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ANM=∠CMN，然后求出∠AMN=∠ANM，根據(jù)等角對等邊可得AM=AN，利用“HL”證明△ABM和△AD′N全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△AD′N=S_△ABM，再根據(jù)三角形的面積求出BM=$\frac{1}{2}$AN，然后求解即可．

解答 （1）證明：如圖①，
∵O為對角線的交點，
∴AO=CO，OB=OD，AD∥BC，
∵矩形ABCD的邊AD∥BC，
∴∠MCO=∠ANO，
在△AON和△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MCO=∠ANO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AON=∠COM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△COM（ASA），
∴AN=CM，ON=OM，
∴梯形ABMN和梯形CDNM關(guān)于點O對稱，
∴梯形ABMN≌梯形CDNM，
∴梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；
（2）解：當(dāng)MN滿足MN⊥AC時，才能使得點C恰好與點A重合．
（3）解：如圖，連接AM，
∵矩形ABCD沿MN折疊，點C與點A重合，
∴AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ABM和△AD′N中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{AB=AD'}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AD′N（HL），
∴S_△AD′N=S_△ABM，
∵翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•BM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AN•AB，
∴BM=$\frac{1}{2}$AN，
∵AM=MC=AN，
∴BM：MC=1：4，
∴MC=4BM．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟記翻折前后的兩個圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關(guān)鍵．