Question

12．若關于x的方程$\frac{ax}{x-2}$=$\frac{3+a}{x-2}$-$\frac{x}{2-x}$的解為整數，且不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞9}\\{x-a＜0}\end{array}\right.$無解，則這樣的非負整數a有（　　）

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 先把a當常數解分式方程，x=$\frac{a+3}{a-1}$，再將a當常數解不等式組，根據不等式組無解得：a≤6，找出當a為非負整數時，x也是整數的值時，a有幾個即可．

解答 解：$\frac{ax}{x-2}$=$\frac{3+a}{x-2}$-$\frac{x}{2-x}$，
去分母，方程兩邊同時乘以x-2，
ax=3+a+x，
x=$\frac{a+3}{a-1}$，且x≠2，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞9①}\\{x-a＜0②}\end{array}\right.$，
由①得：x＞6，
由②得：x＜a，
∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞9}\\{x-a＜0}\end{array}\right.$無解，
∴a≤6，
當a=0時，x=$\frac{a+3}{a-1}$=-3，
當a=1時，x=$\frac{a+3}{a-1}$無意義，
當a=2時，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{2+3}{2-1}$=5，
當a=3時，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{3+3}{3-1}$=3，
當a=4時，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{4+3}{4-1}$=$\frac{7}{3}$，
當a=5時，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{5+3}{5-1}$=2，分式方程無解，不符合題意，
當a=6時，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{6+3}{6-1}$=$\frac{9}{5}$，
∵x是整數，a是非負整數，
∴a=0，2，3；
故選B．

點評 此題考查了解分式方程、一元一次不等式組的解的情況，求出分式方程和不等式組的解是解本題的關鍵，要注意分式方程有意義，即分母不為0．