Question

6．△PQR為等邊三角形，∠ARB=120°
①求證：△APR∽△RQB∽△ARB；
②求證：PQ²=AP•BQ；
③能否在AB上找到一點C，使$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，若能，求出有關條件，若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PQR是等邊三角形，推出∠RPQ=∠RQP=60°，推出∠APR=∠BQR=120°，由∠ARB=120°，推出∠APR=∠BQR=∠ARB，由此即可證明．
（2））由△PQR是等邊三角形，推出PQ=PR=RQ，由△APR∽△RQB，推出$\frac{AP}{RQ}$=$\frac{PR}{BQ}$，即$\frac{AP}{PQ}$=$\frac{PQ}{BQ}$，即PQ²=AP•BQ；
（3）如圖，作∠ARB的平分線交AB于C，此時$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，首先證明△REC是等邊三角形，推出ER=EC=RC，由EC∥RB，推出$\frac{EC}{RB}$=$\frac{AC}{AB}$，$\frac{ER}{AR}$=$\frac{BC}{AB}$，推出$\frac{ER}{AR}$+$\frac{EC}{RB}$=$\frac{RC}{AR}$+$\frac{RC}{RB}$=$\frac{BC}{AB}$+$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，推出$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$．

解答 （1）證明：∵△PQR是等邊三角形，
∴∠RPQ=∠RQP=60°，
∴∠APR=∠BQR=120°，
∵∠ARB=120°，
∴∠APR=∠BQR=∠ARB，
∵∠A=∠A，
∴∠APR∽△ARB，
∵∠B=∠B，
∴△BQR∽△BRA，
∴△APR∽△RQB∽△ARB；

（2）解：∵△PQR是等邊三角形，
∴PQ=PR=RQ，
∵△APR∽△RQB，
∴$\frac{AP}{RQ}$=$\frac{PR}{BQ}$，
∴$\frac{AP}{PQ}$=$\frac{PQ}{BQ}$，
∴PQ²=AP•BQ；

（3）如圖，作∠ARB的平分線交AB于C，此時$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，理由如下，
作CE∥BR交AR于E．
∴∠AEC=∠ARB=120°，
∴∠REC=60°，
∵∠ERC=60°，
∴△REC是等邊三角形，
∴ER=EC=RC，
∵EC∥RB，
∴$\frac{EC}{RB}$=$\frac{AC}{AB}$，$\frac{ER}{AR}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{ER}{AR}$+$\frac{EC}{RB}$=$\frac{RC}{AR}$+$\frac{RC}{RB}$=$\frac{BC}{AB}$+$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，
∴$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，
∴當RC平分∠ARB時，$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加輔助線構造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．