Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．

（1）如圖1，求證：KE=GE；

（2）如圖2，若AC∥EF，試判斷線段KG、KD、GE間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）KG2=KDGE，見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據(jù)等角對等邊得到KE=GE；

（2）如圖2，根據(jù)平行得角相等，證明△GKD∽△EFG，列比例式可得結(jié)論；

（3）如圖3所示，連接OG，OC，由（1）得KE=GE，根據(jù)sinE，設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t，列式先求t的值，再求出圓的半徑．

（1）如圖1，連接OG．

∵EG為切線，

∴∠KGE+∠OGA=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°．

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）KG2=KDGE．理由如下：

連接GD，如圖2．

∵AC∥EF，

∴∠C=∠E．

∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠AGD．

∵∠GKD=∠GKD，

∴△GKD∽△EKG，

∴，

∴KG2=KDEK，

由（1）得：EK=GE，

∴KG2=KDGE；

（3）連接OG，OC，如圖3所示，

由（1）得：KE=GE．

∵AC∥EF，

∴∠E=∠ACH．

∵sinE=sin∠ACH，

設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t．

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即(3t)2+t2，解得：t．

設(shè)⊙O半徑為r．在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即(r﹣3t)2+(4t)2=r2，解得：rt，

答：⊙O的半徑為．