Question

【題目】如圖所示，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分別交AE，AF于M，N，下列結論：①AF⊥BG；②BN=NF；③；④S四邊形CGNF=S四邊形ANGD．其中正確的結論的序號是（　　）

A.①③B.②④C.①②D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用SAS證△ABF≌△BCG即可進行判斷；

②證明△BNF∽△BCG，求得的值，即可判斷；

③作EH⊥AF，令AB＝3，分別求得MN，BM的值，即可判斷；

④連接AG，FG，根據③中結論分別求得S四邊形CGNF和S四邊形ANGD即可．

解：①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD，

∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴BF＝CG，

在△ABF和△BCG中，

，

∴△ABF≌△BCG，

∴∠BAF＝∠CBG，

∵∠BAF+∠BFA＝90°，

∴∠CBG+∠BFA＝90°，即AF⊥BG；所以①正確；

②在△BNF和△BCG中，∠CBG＝∠NBF，∠C＝∠BNF＝90°，

∴△BNF∽△BCG，∴，

∴BN＝NF；所以②錯誤；

③作EH⊥AF，令AB＝3，則BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，

AF＝，

∵S△ABF＝AFBN＝ABBF，

∴BN＝，NF＝BN＝，

∴AN＝AF﹣NF＝，

∵E是BF中點，

∴EH是△BFN的中位線，

∴EH＝，NH＝，BN∥EH，

∴AH＝，，解得：MN＝，

∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，

∴；所以③正確；

④連接AG，FG，根據③中結論，

則NG＝BG﹣BN＝，

∵S四邊形CGNF＝S△CFG+S△GNF＝CGCF+NFNG＝1+＝，

S四邊形ANGD＝S△ANG+S△ADG＝ANGN+ADDG＝，

∴S四邊形CGNF≠S四邊形ANGD，所以④錯誤.

故選A.