Question

【題目】有一根直尺短邊長，長邊長，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長為．如圖1，將直尺的短邊與直角三角形紙板的斜邊重合，且點與點重合．將直尺沿射線方向平移，如圖2，設平移的長度為，且滿足，直尺和三角形紙板重疊部分的面積為．

（1）當時， ；當時， ；當時， ．

（2）當時（如圖3），請用含的代數式表示．

（3）是否存在一個位置，使重疊部分面積為？若存在求出此時的值．

Answer 1

【答案】（1）2，10，2；（2）S=；（3）存在，x=5cm

【解析】

（1）根據平移的距離分別求出AE、AD，再根據面積公式求出對應的答案即可；

（2）證明△BEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出AD、BE，過點C作CH⊥AB，利用面積相減的關系求出函數解析式；

（3）由（1）確定x>4cm，代入（2）的函數解析式求出方程解即可得到答案.

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∵∠DEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

同理：△ADG是等腰直角三角形，

∴AD=DG，

當x=0cm時，AE=EF=2cm，∴S=；

當時，AD=DG=4cm，AE=EF=4+2=6cm，∴S=；

當x=10cm時，AD=DG=10cm，AE=10+2=12cm，此時點E與點B重合，

∴S=；

故答案為：2,10,2；

（2）∵AD=DG=xcm，DE=2cm，

∴AE=(x+2)cm，

∴BE=（12-x-2）cm=（10-x）cm，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∵∠BEF=90°，

∴∠BFE=∠B=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF=BE=（10-x）cm，

過點C作CH⊥AB，

∴CH=AB=6cm，

∴

=，

=；

（3）存在，

由（1）知：當時S=10，

∴當S=11時，x>4cm，

∴=11，

解得，

∴當x=5cm時，重疊部分面積為.