Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，對于任意的三個點A、B、C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的“三點矩形”．在點A，B，C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點A，B，C的“最佳三點矩形”．

如圖1，矩形DEFG，矩形IJCH都是點A，B，C的“三點矩形”，矩形IJCH是點A，B，C的“最佳三點矩形”．

如圖2，已知M（4，1），N（﹣2，3），點P（m，n）．

（1）①若m＝1，n＝4，則點M，N，P的“最佳三點矩形”的周長為　 　，面積為　 　；

②若m＝1，點M，N，P的“最佳三點矩形”的面積為24，求n的值；

（2）若點P在直線y＝﹣2x+4上．

①求點M，N，P的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時m的取值范圍；

②當點M，N，P的“最佳三點矩形”為正方形時，求點P的坐標；

（3）若點P（m，n）在拋物線y＝ax2+bx+c上，且當點M，N，P的“最佳三點矩形”面積為12時，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接寫出拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值為12，；②點的坐標為或；（3）,或.

【解析】

（1）①根據題意，易得M、N、P的“最佳三點矩形”的周長和面積②先求出和的值，再根據m=1以及M、N、P的“最佳三點矩形”的面積是24，可分析出此矩形的鄰邊長分別為6、4進而求出n的值

（2）①結合圖形，易得M、N、P的“最佳三點矩形”的面積的最小值，分別將對應的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范圍②當M、N、P的“最佳三點矩形”為正方形時，易得邊長為6，將對應的值代入y=-2x+4即可求出P點坐標

（3）根據題意畫出圖像，易得拋物線的解析式

解：（1）①如圖，過P做直線AB平行于x軸，過N做直線AC平行于y軸，過M做MB平行于y軸，分別交于點A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）

則AC=BM=3，AB=CM=6故周長=（3+6）=18，面積=3=18

故M、N、P的“最佳三點矩形”的周長和面積分別為18,18；

② ∵M（4,1），N（-2,3）∴，

又∵m=1，點M、N、P的“最佳三點矩形”的面積為24

∴此矩形的鄰邊長分別為6，4

∴n=-1或5

（2）如圖1，

① 易得點M、N、P的“最佳三點矩形”的面積的最小值為12；

分別將y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分別為，

結合圖象可知：

②當點M、N、P的“最佳三點矩形”為正方形，邊長為6，

分別將y=7，y=-3代入y=-2x+4 ，可得分別為，

點P的坐標為（ ，7）或（ ，-3）

（3）如圖2，y=+或y=+