Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常數），

（Ⅰ）若該拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），求a的值及該拋物線與x軸另一交點坐標；

（Ⅱ）不論a取何實數，該拋物線都經過定點H．

①求點H的坐標；

②證明點H是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a＝﹣，拋物線與x軸另一交點坐標是（0，0）；（Ⅱ）①點H的坐標為（2，6）；②證明見解析.

【解析】

(I）根據該拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），可以求得的值及該拋物線與x軸另一交點坐標；

(II)①根據題目中的函數解析式可以求得點H的坐標；

②將題目中的函數解析式化為頂點式，然后根據二次函數的性質即可證明點H是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點．

（Ⅰ）∵拋物線y＝x2﹣2ax+4a+2與x軸的一個交點為（﹣1，0），

∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，

解得，a＝﹣，

∴y＝x2+x＝x（x+1），

當y＝0時，得x1＝0，x2＝﹣1，

即拋物線與x軸另一交點坐標是（0，0）；

（Ⅱ）①∵拋物線y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），

∴不論a取何實數，該拋物線都經過定點（2，6），

即點H的坐標為（2，6）；

②證明：∵拋物線y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，

∴該拋物線的頂點坐標為（a，﹣（a﹣2）2+6），

則當a＝2時，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，

即點H是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點．