Question

【題目】如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑AB的延長線上，且∠CDB＝∠CAD，過點A作⊙O的切線，交CD的延長線于點E．

（1）判定直線CD與⊙O的位置關系，并說明你的理由；

（2）若CB＝4，CD＝8，①求圓的半徑．②求ED的長．

Answer 1

【答案】（1）直線CD是⊙O的切線，見解析；（2）①見解析，②12

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根據切線的判定推出即可；

（2）①證明△CDB∽△CAD，可得，可求出AC，則AB可求出；

②求出OC和OD，證明OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的長．

（1）證明：連接OD，

∵OD＝OB，

∴∠DBA＝∠BDO，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∵∠CDB＝∠CAD，

∴∠CDB+∠BDO＝90°，

即OD⊥CE，

∵D為⊙O的一點，

∴直線CD是⊙O的切線；

（2）①∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠BDC+∠ODB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，

∴∠BDC＝∠DAB，

∵∠DCB＝∠ACD，

∴△CDB∽△CAD，

∴，

∴AC＝＝16，

∴AB＝AC﹣BC＝16﹣4＝12，

∴圓的半徑為6；

②∵OD＝OB＝6，

∴OC＝OB+BC＝10，

∵過點A作的⊙O切線交CD的延長線于點E，

∴EA⊥AC，

∵OD⊥CE，

∴∠ODC＝∠EAC＝90°，

∵∠OCD＝∠ECA，

∴△OCD∽△ECA，

∴，即，

∴EC＝20，

∴ED＝EC﹣CD＝20﹣8＝12．