Question

【題目】在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O、A、C的坐標分別為O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y滿足．

（1）矩形的頂點B的坐標是　 ．

（2）若D是AB中點，沿DO折疊矩形OABC，使A點落在點E處，折痕為DO，連BE并延長BE交y軸于Q點．

①求證：四邊形DBOQ是平行四邊形．

②求△OEQ面積．

（3）如圖2，在（2）的條件下，若R在線段AB上，AR＝4，P是AB左側一動點，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點B（﹣4，6）；（2）①見解析；②S△EOQ＝；（3）PQ的最大值為2+

【解析】

（1）由題意可求x=4，y=6，即可求點B坐標；

（2）①由折疊性質可得AD=DE，∠ADO=∠ODE，由三角形外角性質可得∠ADO=∠DBE，可得OD∥BQ，即可證四邊形BDOQ是平行四邊形；②由題意可證△BFD∽△QCB，可得，可求,，由S△EOQ=SBDOQ-S△DEO-S△BDE可得△OEQ面積；

（3）連接RO，以RO為直徑作圓H，作HF⊥OQ于點F，由題意可得點A，點P，點R，點O四點共圓，即點P在以點H為圓心，RO為直徑的圓上，則點P，點H，點Q三點共線時，PQ值最大，由勾股定理可求,即可求QP的最大值．

解：（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0

∴x＝4，

∴y＝6

∴點A（﹣4，0），點C（0，6）

∴點B（﹣4，6）

故答案為（﹣4，6）

（2）①∵D是AB中點，

∴AD＝BD

∵折疊

∴AD＝DE，∠ADO＝∠ODE

∴∠DBE＝∠DEB

∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB

∴∠ADO+∠ODE＝∠DBE+∠DEB

∴∠ADO＝∠DBE

∴OD∥BQ，且AB∥OC

∴四邊形BDOQ是平行四邊形，

②如圖，過點D作DF⊥BQ于點F，

∵AD＝3，AO＝4

∴DO＝＝5

∵四邊形BDOQ是平行四邊形，

∴BD＝OQ＝3，BQ＝DO＝5，

∴CQ＝CO﹣OQ＝3

∵AB∥CO

∴∠ABQ＝∠BQC，且∠BFD＝∠BCQ＝90°

∴△BFD∽△QCB

∴

∵DE＝BD，DF⊥BQ

，

∴SBDOQ＝12

∴S△EOQ＝SBDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE＝

（3）如圖，連接RO，以RO為直徑作圓H，作HF⊥OQ于點F，

∵RA＝4＝AO

∴∠AOR＝∠ARO＝45°，RO＝

∵∠APR+∠AOR＝135°+45°＝180°

∴點A，點P，點R，點O四點共圓

∴點P在以點H為圓心，RO為直徑的圓上，

∴點P，點H，點Q三點共線時，PQ值最大，

∵∠HOF＝45°，HF⊥OQ，

∴∠FHO＝∠HOF＝45°，且OH＝

∴HF＝OF＝2，

∴QF＝OQ﹣OF＝3﹣2＝1

∴HQ＝

∴PQ的最大值為.