Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的邊AD在x軸上，點C在y軸的負半軸上，直線BC∥AD，且BC=3，OD=2，將經過A、B兩點的直線l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直線與x軸交于點E，與直線BC交于點F，設AE的長為t（t≥0）．

（1）四邊形ABCD的面積為 ；

（2）設四邊形ABCD被直線l掃過的面積（陰影部分）為S，請直接寫出S關于t的函數解析式；

（3）當t=2時，直線EF上有一動點，作PM⊥直線BC于點M，交x軸于點N，將△PMF沿直線EF折疊得到△PTF，探究：是否存在點P，使點T恰好落在坐標軸上？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）；（3）P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據函數解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到結論；

（2）①當0≤t≤3時，根據已知條件得到四邊形ABFE是平行四邊形，于是得到S=AEOC=4t；

②當3≤t＜7時，如圖1，求得直線CD的解析式為：y=2x﹣4，直線E′F′的解析式為：y=﹣2x+2t﹣10，解方程組得到G的坐標，于是得到S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G；

③當t≥7時，S=S四邊形ABCD=20；

（3）當t=2時，點E，F的坐標分別為（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此時直線EF的解析式為：y=﹣2x﹣6，設動點P的直線為（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，分兩種情況討論：

①假設直線EF上存在點P，使點T恰好落在x軸上，如圖2，連接PT，FT；

②假設直線EF上存在點P，使點T恰好落在y軸上，如圖3，連接PT，FT，根據全等三角形的判定性質和相似三角形的判定和性質即可得到結論．

試題解析：（1）在y=﹣2x﹣10中，當y=0時，x=﹣5，∴A（﹣5，0），∴OA=5，∴AC=7，把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4，∴OC=4，∴四邊形ABCD的面積=（3+7）×4=20；

故答案為：20；

（2）①當0≤t≤3時，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴S=AEOC=4t；

②當3≤t＜7時，如圖1，∵C（0，﹣4），D（2，0），∴直線CD的解析式為：y=2x﹣4，∵E′F′∥AB，BF′∥AE′

∴BF′=AE=t，∴F′（t﹣3，﹣4），直線E′F′的解析式為：y=﹣2x+2t﹣10，解得， ，∴G（，t﹣7），∴S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=，③當t≥7時，S=S四邊形ABCD=20；

綜上所述：S關于t的函數解析式為：；

（3）當t=2時，點E，F的坐標分別為（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此時直線EF的解析式為：y=﹣2x﹣6，設動點P的直線為（m，﹣2m﹣6），∵PM⊥直線BC于M，交x軸于n，∴M（m，﹣4），N（m，0），∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，分兩種情況討論：

①假設直線EF上存在點P，使點T恰好落在x軸上，如圖2，連接PT，FT，則△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作FK⊥x軸于K，則KF=4，由△TKF∽△PNT得， =2，∴NT=2KF=8，∵PN2+NT2=PT2，∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，此時，P（﹣6，6）；

②假設直線EF上存在點P，使點T恰好落在y軸上，如圖3，連接PT，FT，則△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴ =2，作PH⊥y軸于H，則PH=|m|，由△TFC∽△PTH得， =2，∴HT=2CF=2，∵，即，解得：m=﹣，m=0（不合題意，舍去），∴m=﹣時，﹣2m﹣6=﹣，∴P（﹣，﹣），綜上所述：直線EF上存在點P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）使點T恰好落在y軸上．