Question

【題目】如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，邊AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N．

（1）直接寫出 D，E 兩點的坐標，D（ ），E（ ）

（2）求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數關系式；當t取何值時，S有最大值？

（3）當t為何值時，DP平分∠EDA？

（4）當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2，4）．(2) S矩形PMNE=-（t-）2+，當t=時，S矩形PMNE有最大值．（3）當t=時，DP平分∠EDA．（4）當t=或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，相應M點的坐標為（，）或（5-2，）．

【解析】

試題分析：（1）根據折疊的性質可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進而可求出CE的長，也就得出了E點的坐標．在直角三角形CDE中，CE長已經求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點的坐標；

（2）很顯然四邊形PMNE是個矩形，可用時間t表示出AP，PE的長，然后根據相似三角形APM和AED求出PM的長，進而可根據矩形的面積公式得出S，t的函數關系式，根據函數的性質即可得出S的最大值及對應的t的值；

（3）由DP是∠EDA的角平分線可知：PE=PM，然后結合相似三角形的性質列出關于t的方程，最后再求解即可；

（4）本題要分三種情況進行討論：（Ⅰ）ME=MA時，此時MP為三角形ADE的中位線，那么AP=，據此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點的橫坐標為A點橫坐標的一半，縱坐標為D點縱坐標的一半．由此可求出M的坐標．（Ⅱ）當MA=AE時，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據折疊的性質，此時AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標；（Ⅲ）EM=EA的情況不成立．

試題解析：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE==3．

∴CE=2．

∴E點坐標為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4-OD）2+22=OD2．

解得：OD=．

∴D點坐標為（0，）．

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

∴PM=．

又∵AP=t，ED=，AE=5，

∴PM=．

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四邊形NMPE為平行四邊形．

又∵∠DEA=90°，

∴四邊形PMNE為矩形．

∴S矩形PMNE=PMPE=×(5-t)=- t2+t．

∴S矩形PMNE=-（t-）2+，

又∵0＜＜5．

∴當t=時，S矩形PMNE有最大值．

（3）∵四邊形NMPE是矩形，

∴PM⊥AD，PE⊥DE．

又∵DP平分∠EDA，

∴PE=PM．

由（2）可知：PM=，PE=5-t．

∴=5-t．

解得：t=．

∴當t=時，DP平分∠EDA．

（4）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點．

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴當t=時，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．

此時M點坐標為（，）．

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD==．

過點M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP=．

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA-AF=OA-AP=5-2，

∴當t=2時，（0＜2＜5），此時M點坐標為（5-2，）．

（Ⅲ）根據圖形可知EM=EA的情況不成立．

綜合綜上所述，當t=或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，相應M點的坐標為（，）或（5-2，）．