Question

【題目】解答題
（1）操作發現：如圖，小明在矩形紙片ABCD的邊AD上取中點E，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部，將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．
（2）問題解決：保持（1）中條件不變，若DC=2FC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：同意．連接EF，則∠EGF=∠D=90°．

∵點E是AD的中點，

∴由折疊的性質知，EG=ED

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．

∴GF=DF

（2）解：由（1）知，GF=DF．設FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．

∵DC=2FC，

∴DF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x．

在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2．

∴y=2 x

∴ = = ．

【解析】（1）連接EF，則AE=EG，HL可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，根據全等三角形的性質即可求解；（2）設FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．根據DC=2FC得到DF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y與x之間關系，從而求得兩條線段的比．
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．