Question

【題目】如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（0，4），C（2，0）．將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉135°，得到矩形EFGH（點E與O重合）．

（1）若GH交y軸于點M，則∠FOM=°，OM=；
（2）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位．
①直線GH與x軸交于點D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位，試求當0＜t≤4 ﹣2時，S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）45°；2
（2）

解：①如圖所示：連接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，

∴四邊形ADOB為平行四邊形，

∴DO=AB=2，

由平移可知：∠HEM=45°，

∴∠OMD=∠ODM=45°，

∴OM=OD=2，

由平移可知：EM=2 ，

∴矩形EFGH平移的路程t=2 ﹣2=2（ ﹣1）；

②分三種情況考慮：

（i）如圖1所示，當0＜t≤2時，重疊部分為等腰直角三角形，

此時OE=t，則重疊部分面積S= t2；

（ii）如圖2所示，當2＜t≤2 時，重疊部分為直角梯形，

此時S= [（t﹣2）+t]×2=2t﹣2；

（iii）如圖3所示，當2 ＜t≤4 ﹣2時，E點在A點下方，重疊部分為五邊形，

此時S=（2t﹣2）﹣ （t﹣2 ）2=﹣ t2+2（ +1）t﹣6．

綜上，S= ．

【解析】解：（1）如圖所示：

由旋轉可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF﹣∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM為等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
則根據勾股定理得：OM=2 ；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對梯形的定義的理解，了解一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形．