Question

【題目】如圖，∠AOB=45°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn).若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是.

Answer 1

【答案】x=0或x= 或4≤x<4
【解析】解：以MN為底邊時(shí)，可作MN的垂直平分線，與OB必有一個(gè)交點(diǎn)P1 ， 且MN=4，以M為圓心MN為半徑畫圓，以N為圓心MN為半徑畫圓，
①如下圖，當(dāng)M與點(diǎn)O重合時(shí)，即x=0時(shí)，
除了P1 ， 當(dāng)MN=MP，即為P3；當(dāng)NP=MN時(shí)，即為P2；
只有3個(gè)點(diǎn)P；

②當(dāng)0<x<4時(shí)，如下圖，圓N與OB相切時(shí)，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此時(shí)MP3=4，
則OM=ON-MN= NP2-4= .

③因?yàn)镸N=4，所以當(dāng)x>0時(shí)，MN<ON，則MN=NP不存在，
除了P1外，當(dāng)MP=MN=4時(shí)，
過點(diǎn)M作MD⊥OB于D，當(dāng)OM=MP=4時(shí)，圓M與OB剛好交OB兩點(diǎn)P2和P3；

當(dāng)MD=MN=4時(shí)，圓M與OB只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)OM= MD=4 ，

故4≤x<4 .
與OB有兩個(gè)交點(diǎn)P2和P3 ，
所以答案是x=0或x= 或4≤x<4 .
【考點(diǎn)精析】掌握相交兩圓的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．