Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣3，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），頂點為點D，對稱軸DE交x軸于點E，連接AD，AC，DC．

（1）求拋物線的函數表達式．
（2）判斷△ADC的形狀，并說明理由．
（3）對稱軸DE上是否存在點P，使點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（﹣3，0），C（0，3）在拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：由（1）得拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點D（﹣1，4），

∵C（0，3），A（﹣3，0），

∴AD=2 ，AC=3 ，CD= ，

∴AD2=AC2+CD2，

∴△ADC是直角三角形

（3）

解：存在，

理由：∵拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴E（﹣1，0），

∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴AE=2，DE=4，AD=2 ，

在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，

設P（﹣1，p），

∵點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等

①當點P在∠DAB的角平分線時，

如圖1，

過點P作PM⊥AD，

∴PM=PD×sin∠ADE= （4﹣p），PE=p，

∵PM=PE，

∴ （4﹣p）=p，

∴p= ﹣1，

∴P（﹣1， ﹣1），

②當點P在∠DAB的外角的平分線時，

如圖2，

過點P作PM⊥AD，

∴PM=PD×sin∠ADE= （4﹣p），PE=﹣p，

∴ （4﹣p）=﹣p，

∴p=﹣ ﹣1，

∴P（﹣1，﹣ ﹣1），

綜上所述，存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等，點P（﹣1， ﹣1）或（﹣1，﹣ ﹣1）

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先確定出拋物線的頂點坐標，從而求出AD，AC，CD，用勾股定理的逆定理判斷即可；（3）先求出∠ADE的正弦值，再分點P在∠DAB的平分線和∠DAB的外角的平分線兩種情況用PM=PE建立方程求解即可．