Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過點B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結論下，直線x=1上是否存在點M使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線過C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax²+bx-8，
由函數經過點（14，0）及對稱軸為x=4可得

- b 2a =4 196a+14b-8=0

，
解得：

a= 2 21 b=- 16 21

，
∴該拋物線的解析式為y=

2

21

x²-

16

21

x-8．
（2）

存在直線CD垂直平分PQ．
由函數解析式為y=

2

21

x²-

16

21

x-8，可求出點A坐標為（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

100

=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，點D在函數的對稱軸上，
∵線CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴點D是AB中點，
∴DQ為△ABC的中位線，
∴DQ=

1

2

AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=

OC2+OB2

=

82+142

=2

65

，
而DQ為△ABC的中位線，Q是BC中點，
∴CQ=

65

，
∴點Q的運動速度為每秒

65

5

單位長度；
（3）存在，過點Q作QH⊥x軸于H，則QH=

1

2

OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PQH中，PQ=

42+82

=

80

=4

5

，
①當MP=MQ，即M為頂點，則此時CD與PQ的交點即是M點（上面已經證明CD垂直平分PQ），
設直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），
因為點C（0，-8），點D（4，0），
所以可得直線CD的解析式為：y=2x-8，
當x=1時，y=-6，
∴M₁（1，-6）；
②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點．
設直線x=1上存在點M（1，y），因為點P坐標為（-1，0），
從而可得PM²=2²+y²，
又PQ²=80，
則2²+y²=80，
即y=±

76

，
∴M₂（1，2

19

），M₃（1，-2

19

）；
③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點，點Q坐標為（7，-4），
設直線x=1存在點M（1，y），
則QM²=6²+（y+4）²=80，
解得：y=2

11

-4或-2

11

-4；
∴M₄（1，-4+2

11

），M₅（1，-4-2

11

）；
綜上所述：存在這樣的五點：
M₁（1，-6），M₂（1，2

19

），M₃（1，-2

19

）M₄（1，-4+2

11

），M₅（1，-4-2

11

）．