Question

如圖，拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點在拋物線上，
∴

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=- 5 2

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x-

5

2

；

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x-

5

2

，
∴其對稱軸為直線x=-

b

2a

=-

-2

2× 1 2

=2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，-

5

2

），
∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

5k+b=0 b=- 5 2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
當x=2時，y=1-

5

2

=-

3

2

，
∴P（2，-

3

2

）；

（3）存在．
如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，-

5

2

），
∴N₁（4，-

5

2

）；
②當點N在x軸上方時，
如圖，過點N₂作N₂D⊥x軸于點D，
在△AN₂D與△M₂CO中，

∠N2AD=∠CM2O AN2=CM2 ∠AN2D=∠M2CO

∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=

5

2

，即N₂點的縱坐標為

5

2

．
∴

1

2

x²-2x-

5

2

=

5

2

，
解得x=2+

14

或x=2-

14

，
∴N₂（2+

14

，

5

2

），N₃（2-

14

，

5

2

）．
綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，-

5

2

），（2+

14

，

5

2

）或（2-

14

，

5

2

）．