Question

如圖，拋物線：y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B（A在B左側），頂點為C（1，-2），
（1）求此拋物線的關系式；并直接寫出點A、B的坐標．
（2）求過A、B、C三點的圓的半徑．
（3）在拋物線上找點P，在y軸上找點E，使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P、E的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=

1

2

x²+bx+c的頂點為C（1，-2），
∴-

b

2a

=-

b

2× 1 2

=1，
解得b=-1，

4ac-b2

4a

=

4× 1 2 c-(-1)2

4× 1 2

=-2，
解得c=-

3

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，則

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A、B的坐標為：A（-1，0）、B（3，0）；

（2）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-2），
∴AB=3-（-1）=4，
AC=

(-1-1)2+[0-(-2)]2

=2

2

，
BC=

(3-1)2+[0-(-2)]2

=2

2

，
∴AB²=16，AC²+BC²=8+8=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB是直徑，
故半徑為2；

（3）①當AB是平行四邊形的邊時，PE=AB=4，且點P、E的縱坐標相等，
∴點P的橫坐標為4或-4，
∴y=

1

2

×4²-4-

3

2

=

5

2

，
或y=

1

2

×4²+4-

3

2

=

21

2

，
∴點P、E的坐標為P₁（4，

5

2

）、E₁（0，

5

2

）或P₂（-4，

21

2

）、E₂（0，

21

2

），
②如圖，當AB是平行四邊形的對角線時，PE平分AB，
∴PE與x軸的交點坐標D（1，0），
過點P作PF⊥AB，則OD=FD，
∴點F的坐標為（2，0），
∴點P的橫坐標為2，
y=

1

2

×2²-2-

3

2

=-

3

2

，
∴點P的縱坐標為

3

2

，
∴點P、E的坐標為P₃（2，-

3

2

）、E₃（0，

3

2

），
綜上所述，點P、E的坐標為：P₁（4，

5

2

）、E₁（0，

5

2

）或P₂（-4，

21

2

）、E₂（0，

21

2

）或P₃（2，-

3

2

）、E₃（0，

3

2

）．