Question

【題目】如圖，拋物線與x軸分別交于點，與y軸交于點C，頂點為D.

（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

（2）動點以相同的速度從點O同時出發，分別在線段上向點方向運動，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點E.

①當四邊形為矩形時，求點E的坐標；

②過點E作于點M，連接.設的面積為，的面積為，當將的面積分成1:3兩部分時，請直接寫出的值；

③連接，請直接寫出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）①；②15或；③

【解析】

（1）將點A、B代入拋物線解析式即可，則點D坐標可求．
（2）①四邊形為矩形，可分析出OQ=PE，設點坐標表示線段長度列式求解即可．
②PE分三角形的面積之比為1：3，可分析出PE分線段BC為1：3，分兩種情況討論，分別求出S1和S2，則比值可求．
③轉化線段CP為線段BQ，作點D關于y軸的對稱點，連接BD′，與y軸的交點即為點Q，求出BD′的長度就是CP+DQ的最小值．

解：（1）將點A、B代入解析式

解得,

∴y=-x-4

當x=1時，y=-,

∴D（1，-）.

（2）①設點E的坐標為（m， -m-4），則點P（m，0），點Q（0，-m），

∵四邊形OQEP為矩形，

∴OQ=EP，

∴m=-+m+4，

解得=-2（舍去），m2=2.

∴E（2, -2

②令x=0，y=-4，

∴C（0，-4），

∵PE將△BCE的面積分成1：3兩部分，

∴PE將線段BC分成1：3兩部分，

情況一：當PE過靠近點C的四等分點時，點P的坐標為（1，0），點E（1，-），

∴點Q（0，-1），

直線BC的解析式為y=x-4，

當x=1時，y=-3，

∴點G（1，-3），

如圖1所示，

∴GD=,

∵∠CGD=∠OBC=45°，
∴xM=1-,

∴M（）,

∴S1=3=, S2=3=,

∴=15.

情況二：當PE過靠近點B的四等分點時，點P（3，0），點Q（0，-3），點E（3，-），點G（3，-1）,

∴EG=,

∴xM=3-,

∴M（,-）,

∴S1=1=, S2=1=,

∴=,

綜上所述：=15或=.

③如圖2所示，

∵OP=OQ，∠BOQ=∠COP，OB=OC，
∴△BOQ≌△COP（SAS），
∴CP=BQ，
∴CP+DQ=BQ+DQ，
作點D關于y軸的對稱點D′（-1，-），
連接BD′，與y軸的交點即為點Q，

BD′==.

∴CP+DQ的最小值為.