Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD

（2）解：四邊形BECD是菱形，

理由是：∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形

（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

【解析】（1）由題意得到四邊形ADEC是平行四邊形，即CE=AD；（2）由D為AB中點，得到AD=BD，由CE=AD，得到BD=CE，因為BD∥CE，得到四邊形BECD是平行四邊形，由∠ACB=90°，D為AB中點，得到CD=BD，根據菱形的定義得到四邊形BECD是菱形；（3）由∠ACB=90°，∠A=45°，得到∠ABC=∠A=45°，AC=BC，因為D為BA中點，得到CD⊥AB，∠CDB=90°，由四邊形BECD是菱形，根據正方形的判定方法得到菱形BECD是正方形，得到四邊形BECD是正方形.