Question

【題目】如圖1，在△ABC中，CD為AB邊上的中線，點E、F分別在線段CD、AD上，且 ．點G是EF的中點，射線DG交AC于點H．

（1）求證：△DFE∽△DAC；
（2）請你判斷點H是否為AC的中點？并說明理由；
（3）若將△ADH繞點D順時針旋轉至△A′DH′，使射線DH′與射線CB相交于點M（不與B，C重合．圖2是旋轉后的一種情形），請探究∠BMD與∠BDA′之間所滿足的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵CD為AB邊上的中線，

∴DB=DA，

∵ ，

∴ ，又∠FDE=∠ADC，

∴△DFE∽△DAC

（2）

解：點H為AC的中點．

理由如下：∵△DFE∽△DAC，

∴∠DFE=∠DAC，

∴EF∥AC，

∴△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，

∴ ， ，

∴ ，

∵點G是EF的中點，

∴EG=FG，

∴HC=AH，即點H為AC的中點

（3）

解：①如圖2，當點M在線段BC上時（不與B，C重合），

∠BMD+∠BDA'=180°，

∵BD=AD，HC=AH，

∴DH∥BC，

∴∠BMD=∠HDH′，

∵將△ADH繞點D旋轉至△A'DH'，

∴∠HDH′=∠ADA'．

∵∠BDA′+∠ADA'=180°，

∴∠BMD+∠BDA′=180°；

②如圖3，當點M在CB的延長線上時，∠BMD=∠BDA'，

∵BD=AD，HC=AH，

∴DH∥BC，

∴∠BMD=∠NDH，

∵將△ADH繞點D旋轉至△A'DH'，

∴∠HDH′=∠ADA'，

∵∠BDA′+∠ADA'=180°，

∠NDH+∠HDH′=180°，

∴∠NDH=∠BDA′，

∴∠BMD=∠BDA′．

【解析】（1）根據三角形的中線的概念和相似三角形的判定定理證明即可；（2）證明△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，根據相似三角形的性質得到比例式，根據線段中點的概念得到EG=FG，等量代換即可；（3）分點M在線段BC上和點M在CB的延長線上兩種情況，根據相似三角形的性質和旋轉的性質解答即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．