Question

17．已知：點火器A是直線y=kx上一點，點P是線段OA上的一個動點（P不與O，A重合），過點P作x軸的垂線，垂足為點B，以PB為邊長在PB的右側做正方形PBCD，則點C落在x軸上，作射線AD交x軸于點E，如圖，若OA=10，cos∠AOE=$\frac{3}{5}$，設OP=m．
（1）求點A的坐標；
（2）請用含m的代數式表示△APD的面積為S，并求當m為何值時，S有最大（或最小）值，最大（或最小）值是多少？
（3）①請用含m的代數式表示線段OE的長；
②當m為何值時，以點O，D，C為頂點的直角三角形與Rt△CDE相似？

Answer 1

分析 （1）設A（a，b），根據根據三角函數的定義，以及OA的長列出方程，即可求出a與b的值，即可確定出A的坐標；
（2）根據S_△APD=$\frac{1}{2}$•AP•PDsin∠APD構建二次函數，即可利用二次函數的性質解決問題．
（3）①由△APD∽△AOE，推出 $\frac{PD}{OE}$=$\frac{AP}{AO}$，列出方程即可解決問題．
②由DC與OC的比值確定，若三角形OCD與三角形DCE相似，得比例求出m的值即可．

解答 解：（1）設A（a，b），作AF⊥OE于F．
cos∠AOF=$\frac{a}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即a=$\frac{3}{5}$×10=6，sin∠AOF=$\frac{b}{OA}$=$\frac{4}{5}$，即b=$\frac{4}{5}$×10=8，
則A（6，8）；

（2）∵sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，sin∠APD=sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∵AP=OA-OP=10-m，$\frac{4}{5}$=$\frac{PB}{OP}$=$\frac{PB}{m}$，即PB=PD=$\frac{4}{5}$m，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•PDsin∠APD=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$×（10-m）×$\frac{4}{5}$m═-$\frac{8}{25}$m²+$\frac{80}{25}$m，
則S_△APD有最大值，當m=5時，S_max=8；

（3）①∵△APD∽△AOE，
∴$\frac{PD}{OE}$=$\frac{AP}{AO}$，即 $\frac{\frac{4}{5}m}{OE}$=$\frac{10-m}{10}$，
整理得：OE=$\frac{8m}{10-m}$，
②∵DC與OC成固定比例 $\frac{4}{7}$，
若△OCD∽△DCE，則有 $\frac{CE}{DC}$=$\frac{DC}{OC}$=$\frac{4}{7}$，即 $\frac{\frac{8m}{10-m}-\frac{7}{5}m}{\frac{4}{5}m}$=$\frac{4}{7}$，
解得：m=$\frac{74}{13}$．
若△OCD∽△ECD，則有$\frac{CD}{EC}$=$\frac{DC}{OC}$=$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}m}{\frac{8m}{10-m}-\frac{7}{5}m}$=$\frac{4}{7}$，
解得m=$\frac{50}{7}$，
綜上所述，m的值為$\frac{74}{13}$或$\frac{50}{7}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、銳角三角函數定義、三角形面積公式，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．