Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=8，點C和點D是⊙O上關于直線AB對稱的兩個點，連接OC、AC，且∠BOC＜90°，直線BC和直線AD相交于點E，過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F，與直線AD相交于點G，且∠GAF＝∠GCE

（1）求證：直線CG為⊙O的切線；

（2）若點H為線段OB上一點，連接CH，滿足CB＝CH，

①△CBH∽△OBC

②求OH＋HC的最大值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②5.

【解析】

（1）由題意可知：∠CAB=∠GAF，由圓的性質可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，從而可證明直線CG是⊙O的切線；

（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易證∠CBH=∠OCB，從而可證明△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以OH+HC=4+BC，利用二次函數的性質即可求出OH+HC的最大值．

（1）由題意可知：∠CAB=∠GAF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半徑，

∴直線CG是⊙O的切線；

（2）①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC

②由△CBH∽△OBC可知：

∵AB=8，

∴BC2=HBOC=4HB，

∴HB=，

∴OH=OB-HB=4-

∵CB=CH，

∴OH+HC=4+BC，

當∠BOC=90°，

此時BC=4

∵∠BOC＜90°，

∴0＜BC＜4，

令BC=x則CH=x，BH=

當x=2時，

∴OH+HC可取得最大值，最大值為5