Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），

∴ ，

解得， ，

即此拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對(duì)稱軸是直線x=1

（3）

解：存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），

當(dāng)PA=PD時(shí)，

= ，

解得，y=﹣ ，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣ ）；

當(dāng)DA=DP時(shí)，

= ，

解得，y=﹣4±2 ，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）；

當(dāng)AD=AP時(shí)，

= ，

解得，y=±4，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4）或（1，﹣4），

當(dāng)點(diǎn)P為（1，﹣4）時(shí)與點(diǎn)D重合，故不符合題意，

由上可得，以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣ ）或（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）或（1，4）

【解析】（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），可以求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）首先寫出存在，然后運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn))．