Question

【題目】在矩形ABCD中，E為CD的中點，H為BE上的一點， ，連接CH并延長交AB于點G，連接GE并延長交AD的延長線于點F．

（1）求證： ；
（2）若∠CGF=90°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，

∴△CEH∽△GBH，

∴

（2）解：作EM⊥AB于M，如圖所示：

則EM=BC=AD，AM=DE，

∵E為CD的中點，

∴DE=CE，

設DE=CE=3a，則AB=CD=6a，

由（1）得： =3，

∴BG= CE=a，

∴AG=5a，

∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，

∴△DEF∽△GEC，

∴ ，

∴EGEF=DEEC，

∵CD∥AB，

∴ = ，

∴ ，

∴EF= EG，

∴EG EG=3a3a，

解得：EG= a，

在Rt△EMG中，GM=2a，

∴EM= = a，

∴BC= a，

∴ = =3 ．

【解析】（1）根據相似三角形判定的方法，判斷出△CEH∽△GBH，即可推得 ．（2）作EM⊥AB于M，則EM=BC=AD，AM=DE，設DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得： =3，得出BG= CE=a，AG=5a，證明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性質得出EGEF=DEEC，由平行線證出 ，得出EF= EG，求出EG= a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM= a，即可得出結果．此題主要考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．