Question

【題目】如圖，直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3,0）.

⑴求拋物線的解析式;

⑵在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）此拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）Q點坐標為（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．

【解析】

（1）根據直線的解析式y=3x+3，當x=0和y=0時就可以求出點A、B的坐標，設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據A、B、C三點的坐標利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式；
（2）將拋物線化為頂點式，求出對稱軸對稱軸，設出Q點的坐標，利用等腰三角形的性質，根據兩點間的距離公式就可以求出Q點的坐標．

(1)∵y=3x+3，

∴當x=0時，y=3，當y=0時，x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意，得

，

解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3

(2)∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對稱軸為x=1，設Q（1，a），

①當AQ=BQ時，如圖，

由勾股定理可得

BQ=，

AQ=

得，

解得a=1，

∴Q（1，1）；

②如圖：

當AB是腰時，Q是對稱軸與x軸交點時，AB=BQ，

∴

解得：a=0或6，

當Q點的坐標為（1，6）時，其在直線AB上，A、B和Q三點共線，舍去，

則此時Q的坐標是（1，0）；

③當AQ=AB時，如圖：

，解得a=±，則Q的坐標是（1，）和（1，﹣）．

綜上所述：Q點坐標為（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．