Question

【題目】如圖1，與都是等腰直角三角形，直角邊，在同一條直線上，點、分別是斜邊、的中點，點為的中點，連接，，，，．

（1）觀察猜想：

圖1中，與的數量關系是______，位置關系是______．

（2）探究證明：

將圖1中的繞著點順時針旋轉，得到圖2，與、分別交于點、，判斷的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸：

把繞點任意旋轉，若，，請直接寫出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的形狀為等腰直角三角形，理由見解析；（3）的面積的最大值為．

【解析】

（1）延長AE交BD于點H，易證ΔACE≌ΔBCD，得AE=BD，∠CAE=∠CBD，進而得∠BHA=90°，結合中位線的性質，得PM=BD，PM//BD，PN=AE， PN//AE，進而得PM=PN，PM⊥PN；

（2）設AE交BC于⊙O，易證ΔACE≌ΔBCD，得AE=BD，∠CAE=∠CBD，進而得∠BHA=90°，結合中位線的性質，得PM=BD，PM//BD，PN=AE， PN//AE，進而得PM=PN，PM⊥PN；

（3）易證ΔPMN是等腰直角三角形，PM=BD，當B、C、D共線時，BD的值最大，進而求解．

解：（1）如圖1，

延長AE交BD于點H，

∵ΔACB和ΔECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，

∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∴ΔACE≌ΔBCD（SAS），

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，

又∵∠AEC=∠BEH，

∴∠BHA=∠ACE=90°，

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PM=BD，PM//BD，PN=AE，PN//AE，

∴PM=PN，

∴PM⊥AH，

∴PM⊥PN．

（2）如圖中，設交于．

∵和是等腰直角三角形，

∴，，

∴

∴.∴

∴，

又∵，，∴

∵點、、分別為、、的中點，∴，；

，.∴

∴

∴

∴

∴

（3）的面積的最大值為．

由（2）可知是等腰直角三角形，，

∴當的值最大時，的值最大，的面積最大，

∴當、、共線時，的最大值，∴，

∴的面積的最大值．