Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，……在直線(xiàn)l上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前n個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和是____________．

Answer 1

【答案】（2n﹣1）

【解析】

根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以求得點(diǎn)A1，A2，A3，A4的坐標(biāo)，從而可以得到前n個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和，即可求解．

由題意可得，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A3的

坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（7，8），……，

∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，

∴前n個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝

（1+2+4+8+…+2n﹣1），

設(shè)S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，則2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，

則2S﹣S＝2n﹣1，

∴S＝2n﹣1，

∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，

∴前n個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和是：×（2n﹣1），

故答案為：（2n﹣1）．