Question

【題目】如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側)，與y的正半軸交于點C，連結BC，二次函數的對稱軸與x軸的交點為E．

(1)拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標為_____，點A的坐標為_____；

(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，如圖②Q(m，0)是x的正半軸上一點，過點Q作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應點為M′．在圖②中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)E(，0)，A(﹣1，0)；(2)y=；(3)存在，點Q坐標為(，0)或( ，0)

【解析】

（1）根據對稱軸公式可以求出點E坐標，設y＝0，解方程即可求出點A坐標．

（2）如圖①中，設⊙E與直線BC相切于點D，連接DE，則DE⊥BC，由tan∠OBC＝，列出方程即可解決．

（3）分兩種情形①當N在直線BC上方，②當N在直線BC下方，分別列出方程即可解決．

解：(1)∵對稱軸x=，

∴點E坐標(，0)，

令y=0，則有ax2﹣3ax﹣4a=0，

∴x=﹣1或4，

∴點A坐標(﹣1，0)．

故答案分別為(，0)，(﹣1，0)．

(2)如圖①中，設⊙E與直線BC相切于點D，連接DE，則DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，

∴DB=，

∵tan∠OBC=，

∴，解得a=，

∴拋物線解析式為y=．

(3)如圖②中，由題意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴MN=CM，

∵點B的坐標為(4，0)，點C的坐標為(0，3)，

∴ 直線BC解析式為y=﹣x+3，BC=5，

∴M(m，﹣m+3)，N(m，﹣m2+m+3)，作MF⊥OC于F，

∵sin∠BCO=，

∴，

∴CM=m，

①當N在直線BC上方時，﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m，

解得：m=或0(舍棄)，

∴Q1(，0)．

②當N在直線BC下方時，(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m，

解得m=或0(舍棄)，

∴Q2(，0)，

綜上所述：點Q坐標為(，0)或( ，0)．