Question

【題目】如圖1，已知二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C(0，﹣2)，頂點為D，對稱軸交x軸于點E．

(1)求該二次函數的解析式；

(2)設M為該拋物線對稱軸左側上的一點，過點M作直線MN∥x軸，交該拋物線于另一點N．是否存在點M，使四邊形DMEN是菱形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)連接CE(如圖2)，設點P是位于對稱軸右側該拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請求出當△PQE與△COE相似時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣x﹣2；(2)點M坐標為(1﹣，﹣)；(3)點P的坐標為(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．

【解析】

（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得二次函數的表達式；
（2）先求出頂點D(1，﹣)，則DE＝，根據四邊形DMEN是菱形，點M的縱坐標為﹣，令x2﹣x﹣2＝﹣，解方程，即可求出點M坐標.

（3）分△COE∽△PQE和△COE∽△EQP兩種情況進行討論.

解：(1)設拋物線解析式為y＝a(x+1)(x﹣3)，

將點C(0，﹣2)代入，得：﹣3a＝﹣2，

解得a＝，

則拋物線解析式為

(2)∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，

∴頂點D(1，﹣)，即DE＝，

∵四邊形DMEN是菱形，

∴點M的縱坐標為﹣，

則x2﹣x﹣2＝﹣，

解得x＝1±，

∵M為該拋物線對稱軸左側上的一點，

∴x＜1，

則x＝1﹣，

∴點M坐標為(1﹣，﹣)；

(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，

∴OC＝2，OE＝1，

如圖，設P(m， m2﹣m﹣2)(m＞1)，

則PQ＝|m2﹣m﹣2|，EQ＝m﹣1，

①若△COE∽△PQE，則 即

解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，

此時點P坐標為(5，8)或(2，﹣2)；

②若△COE∽△EQP，則即

解得m＝(負值舍去)或m＝，

此時點P的坐標為(，)或(，)；

綜上，點P的坐標為(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．