Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函數的圖像與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數的圖像過點A（3，0），與y軸交于點B，求直線AB與這個二次函數的解析式；

（3）在直線AB上方的拋物線上有一動點D，當D與直線AB的距離DE最大時，求點D的坐標，并求DE最大距離是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：當拋物線與x軸有兩個交點時，△＞0，即4+4m＞0，

∴m＞﹣1；

（2）

解：∵點A（3，0）在拋物線y=﹣x2+2x+m上，

∴﹣9+6+m=0，∴m=3．

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，且B（0，3），

設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b中，得到

，

解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+3；

（3）

解：過點D作y軸的垂線，垂足為C，再過點A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，

∵AB為定值，∴當DE的值越大時，S△ADB的面積越大，

設D（x，y），DC=x，BC=y﹣3，DG=3﹣x，AG=y

∴S△ADB=S梯形AGCB﹣S△BDC﹣S△ADG，

∴S△ADB= ﹣ （y﹣3）x﹣ （3﹣x）y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵a=﹣ ＜0，

∴當 時，S△ADB的最大值= ，

將 代入y=﹣x2+2x+3，得到 ，即D（ ， ），

又∵S△ADB= DEAB，且AB= =3 ，

∴ ×3 DE= ．

∴DE= ，

答：DE的最大值為 ．

【解析】（1）根據拋物線與x軸有兩個交點時，△＞0，即可得到結論；（2）把點A（3，0）代入y=﹣x2+2x+m得到﹣9+6+m=0得到B（0，3），解方程組即可得到結論；（3）過點D作y軸的垂線，垂足為C，再過點A作AG⊥CD，垂足為G，連接BD，AD，得到當DE的值越大時，S△ADB的面積越大，設D（x，y），DC=x，BC=y﹣3，DG=3﹣x，AG=y根據圖形的面積公式即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的最值和拋物線與坐標軸的交點，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．