Question

數學活動﹣求重疊部分的面積

（1）問題情境：如圖①，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點P與等邊△ABC的內心O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△PAB的面積為　    　．
（2）探究1：在（1）的條件下，將紙片繞P點旋轉至如圖②所示位置，紙片兩邊分別與AC，AB交于點E，F，圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積是否相等？如果相等，請給予證明；如果不相等，請說明理由．
（3）探究2：如圖③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD為∠CAB的角平分線，點P在射線AD上，且AP=2，以P為頂點的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與∠CAB的兩邊AC，AB分別交于點E、F，∠EPF=180°﹣α，求重疊部分的面積．（用α或的三角函數值表示）

Answer 1

（1）；
（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等，理由見解析；
（3）重疊部分得面積為：4sincos．

試題分析：（1）由點O是等邊三角形ABC的內心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，結合條件OA=2即可求出重疊部分的面積；
（2）由旋轉可得∠FOE=∠BOA，從而得到∠EOA=∠FOB，進而可以證到△EOA≌△FOB，因而重疊部分面積不變；
（3）在射線AB上取一點G，使得PG=PA，過點P作PH⊥AF，垂足為H，方法同（2），可以證到重疊部分的面積等于△PAG的面積，只需求出△PAG的面積就可解決問題．
試題解析：（1）過點O作ON⊥AB，垂足為N，如圖①，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°．
∵點O為△ABC的內心
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA．
∴∠OAB=∠OBA=30°．
∴OB=OA=2．
∵ON⊥AB，
∴AN=NB，PN=1．
∴AN=
∴AB=2AN=2．
∴S_△OAB=AB•PN=．
故答案為：；
（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．
連接AO、BO，如圖②，

由旋轉可得：∠EOF=∠AOB，則∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，

∴△EOA≌△FOB．
∴S_{四邊形AEOF}=S_△OAB．
∴圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等；
（3）在射線AB上取一點G，使得PG=PA，過點P作PH⊥AF，垂足為H，如圖③，則有AH=GH=AG．

∵∠CAB=α，AD為∠CAB的角平分線，
∴∠PAE=∠PAF=∠CAB=．
∵PG=PA，
∴∠PGA=∠PAG=．
∴∠APG=180°﹣α．
∵∠EPF=180°﹣α，
∴∠EPF=∠APG．
同理可得：S_{四邊形AEPF}=S_△PAG．
∵AP=2，
∴PH=2sin，AH=2cos．
∴AG=2AH=4cos．
∴S_△PAG=AG•PH=4sincos．
∴重疊部分得面積為：S_面積=4sincos．