Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；

（2）點P是線段BD上一點，當PE＝PC時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（2，2）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；

（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴，解得，

∴所求的拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖，連接PC，PE．

拋物線的對稱軸為x＝＝1．

當x＝1時，y＝4，

∴點D的坐標為（1，4）．

設直線BD的解析式為y＝kx+b，

則，

解得．

∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，

設點P的坐標為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），

則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC＝PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x＝2，

則y＝﹣2×2+6＝2，

∴點P的坐標為（2，2）．