Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（﹣1，0）．

（1）請直接寫出點B、C的坐標：B（ ）、C（ ）；并求經過A、B、C三點的拋物線解析式；

（2）現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經過點C．此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點M．

①設AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC；

②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，拋物線解析式為；

（2）①當時，△OCE∽△OBC；②拋物線對稱軸上存在點P或或或，使△PEM是等腰三角形．

【解析】

（1）利用解直角三角形求出OC的長度，再求出OB的長度，從而可得點B、C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；

（2）①根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度，再根據點A的坐標求出AO的長度，相加即可得到AE的長度，即x的值；

②根據①確定點E在對稱軸上，然后求出∠FEB=60°，根據同位角相等兩直線平行求出EF//AC，再求出直線EF的解析式，與拋物線解析式聯立求出點M的坐標，再利用兩點間的距離公式求出EM的長度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三種情況分別求解．

（1）∵點

∴

由圖可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角

∴，

∴點，點

設拋物線解析式為

解得

∴拋物線解析式為

（2）①∵△OCE∽△OBC

∴

即

解得

∴

即時，△OCE∽△OBC

②存在，理由如下：

拋物線的對稱軸為

∴點E為拋物線的對稱軸與x軸的交點

∵，軸，

∴△ACE是等邊三角形

∴

∵

∴

∴

∴

由可得直線AC的解析式為

∵點E

∴直線EF的解析式為

聯立

解得 ，

∴點M的坐標為或（舍去）

分三種情況討論△PEM是等腰三角形

1）當時，

∴點P的坐標為或

2）當時，

∵

∴

∴點P的坐標為

3）當時，

∴點P的坐標為

綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P或或或，使△PEM是等腰三角形．