Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線，

（1）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，當(dāng)是邊長(zhǎng)為5的等腰三角形，共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，并嘗試求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若直線與不平行，在直線上，是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形，且，若存在，求出這樣的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) P1（3,4）,P2（2,4）,P3（8,4）;(2) P1（1,3）,P2（8,-4）．

【解析】

（1）根據(jù)題意分PD＝OD時(shí)，和 OP＝OD，設(shè)P（x,4）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解；

（2）如圖，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OC于點(diǎn)H，由△OPH∽△PCH得到建立方程求解．

（1）∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

∴D（5，0）

如圖，①當(dāng)PO＝OD＝5時(shí)，設(shè)P（x,4）

∴25=x2+42

解得x=3（-3舍去）

∴P1（3,4）

②當(dāng)PD＝OD＝5時(shí)，設(shè)P（x,4）

∴25=（x-5）2+42

解得x1=2,x2=8

∴P2（2,4）,P3（8,4）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（3，4），P2（2，4），P3（8，4）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a＋4），過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OC于點(diǎn)H，

∵∠OPC＝90°，，

∴△OPH∽△PCH．

∴即PH2＝OH×CH．

∴（a＋4）2＝a（10a），

∴a28a＋16＝10aa2，

∴2a218a＋16＝0，解得a1＝1，a2＝8．

∴P1（1，3），P2（8，4）．

即存在點(diǎn)P（1，3）或（8，4）．