Question

【題目】在同一平面內的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“閉距離“，記作d（M，N）．

如圖，等腰直角三角形ABC的一條直角邊AB垂直數軸于點D，斜邊AC與數軸交于點E，數軸上點O表示的有理數是0，若AB＝BC＝8，AD＝6，OD＝2．點O到邊BC的距離與線段DB的長相等．

（1）求d（點O，點E）；

（2）求d（點O，△ABC）．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）2.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質和線段的和差關系求得OE＝4．再根據“閉距離”的定義可得d（點O，點E）＝4．

（2）過點O作OF⊥AC于點F，可得OF＝FE，設OF＝FE＝x，在Rt△OEF中，可求點O到邊AC距離OF是2，進一步得到對于△ABC三邊上任意一點Q，O，Q兩點間的距離的最小值為2．再根據“閉距離”的定義可得d（點O，△ABC）＝2．

解：（1）∵等腰直角三角形ABC，AB＝BC＝8，

∴∠C＝∠A＝45°

∠ABC＝90°．

∵AB垂直數軸于點D，

∴∠ADE＝∠ABC＝90°．

∴BC∥DE

∴∠AED＝∠C＝∠A＝45°．

∴AD＝DE．

∵AD＝6，

∴DE＝AD＝6，

∵OD＝2，

∴OE＝4．

∴d（點O，點E）＝4．

（2）過點O作OF⊥AC于點F，

∵∠AED＝45°，OE＝4，

∴∠AED＝∠FOE＝45°

∴OF＝FE，

設OF＝FE＝x，

在Rt△OEF中，x2+x2＝16x2＝8，（負值舍去），

，

∴點O到邊AC距離OF是，

∵AB＝8，AD＝6，

∴DB＝AB﹣AD＝2．

∵點O到邊BC的距離與線段DB的長相等．

∴點O到邊BC距離是2，

∵點O到邊AB距離OD是2，

∴對于△ABC三邊上任意一點Q，O，Q兩點間的距離的最小值為2．

∴d（點O，△ABC）＝2．